Sismologie et aléa sismique

Avant de commencer

Ce cours s'adresse à l'ingénieur qui doit utiliser la sismologie : lire un enregistrement, comprendre d'où vient l'accélération de calcul d'un site, choisir des accélérogrammes, juger un effet de site ou une liquéfaction, et dimensionner un ouvrage selon l'Eurocode 8. Il part du signal enregistré par une station et remonte, chapitre après chapitre, jusqu'à la réponse des bâtiments.

Quatre parties : lire les sismogrammes (ce que mesure une station, comment on localise un séisme et on mesure sa taille) ; mouvement du sol et aléa (le spectre de réponse, les catalogues, le calcul probabiliste de l'aléa) ; du site au mouvement de projet (accélérogrammes, effets de site, liquéfaction) ; réponse des ouvrages (ductilité, analyse modale, poussée progressive, isolation).

Les paragraphes cités (§ 3.2.2.2, annexe B…) renvoient à l'EN 1998-1:2004 et à ses valeurs recommandées, sauf mention contraire. La deuxième génération de l'Eurocode 8 (EN 1998-1-1:2024) sera présentée à côté, à partir de son texte.

1 · Lire un sismogramme

Ce qu'enregistre une station

Une station sismologique mesure le mouvement du sol dans trois directions : la verticale (Z), le nord–sud (N) et l'est–ouest (E). Son capteur donne la vitesse du sol (vélocimètre) ou son accélération (accéléromètre), échantillonnée cent fois par seconde et datée en temps universel par un récepteur GNSS. Le tracé obtenu en fonction du temps est le sismogramme.

Les deux capteurs se complètent. Le vélocimètre est très sensible : il enregistre des séismes lointains ou minuscules, mais il sature dès que le sol bouge fort. L'accéléromètre est moins sensible mais ne sature pas : c'est lui qui enregistre, près d'un fort séisme, les mouvements qui intéressent l'ingénieur.

Trois familles d'ondes

Un séisme émet plusieurs types d'ondes, qui n'arrivent pas en même temps à la station :

• les ondes P (premières) compriment et dilatent la roche dans leur direction de propagation, comme le son. Ce sont les plus rapides — environ 6 km/s dans la croûte. Elles arrivent en premier et se voient surtout sur la composante verticale, parce qu'elles remontent presque verticalement à travers les couches lentes de surface ;
• les ondes S (secondes) cisaillent la roche, perpendiculairement à leur propagation. Plus lentes — environ 3,5 km/s — elles arrivent ensuite, plus fortes, surtout sur les composantes horizontales. Ce sont elles qui sollicitent le plus les bâtiments ;
• les ondes de surface (Love et Rayleigh) sont guidées par la surface du sol. Plus lentes encore, elles arrivent en dernier et se distinguent nettement au-delà de quelques dizaines de kilomètres, avec des oscillations de plus longue période.

Les ondes traversent le globe

Les ondes P et S d'un séisme ne restent pas dans la croûte : elles plongent dans la Terre, et c'est en les suivant que les sismologues ont découvert ses couches. Sous une croûte de quelques dizaines de kilomètres s'étend le manteau, solide, jusqu'à 2 891 km ; puis le noyau externe, liquide, jusqu'à 5 154 km ; au centre, la graine, solide. La vitesse croît avec la profondeur : les rais se courbent et remontent vers la surface. Un liquide ne transmet pas le cisaillement : les ondes S s'arrêtent au noyau, que seules les ondes P traversent.

Coupe du globe calculée avec le modèle de Terre ak135, pour un foyer à 10 km : à droite, les rais P jusqu'à 98° puis, au-delà de la zone d'ombre, les rais qui ont traversé le noyau (PKP, PKIKP) ; à gauche, les rais S, arrêtés par le noyau liquide, et les SKS, convertis en ondes P dans le noyau. Le chapitre 6 détaille ces phases et leurs noms. Ce chapitre-ci s'en tient aux séismes proches, à moins de quelques centaines de kilomètres.

La distance par l'écart S − P

Les ondes P et S partent ensemble du foyer. Comme P va plus vite, l'écart entre leurs arrivées grandit avec la distance d parcourue :

S − P = d / Vs − d / Vp  ⟹  d = (S − P) · Vp·Vs / (Vp − Vs)

Avec Vp = 6,0 km/s et Vs = 3,5 km/s, le facteur vaut 8,4 km/s :

d ≈ 8,4 × (S − P)

d en kilomètres, S − P en secondes : environ 8 km par seconde d'écart. Le rapport Vp/Vs ≈ 1,7 varie peu d'une croûte à l'autre ; c'est pourquoi la règle voyage bien.

La distance obtenue est la distance hypocentrale R, du foyer à la station. La distance à l'épicentre, point de la surface à l'aplomb du foyer, s'en déduit avec la profondeur h : Δ = √(R² − h²). Au-delà d'environ 150 km, la première onde P a voyagé en partie dans le manteau, plus rapide (onde Pn, chapitre 6) : la règle surestime alors un peu la distance.

L'heure d'origine

Connaissant la distance, on remonte le temps : l'onde P a mis R / Vp secondes pour arriver.

t₀ = t_P − R / Vp

La direction de la source

Une seule station donne aussi la direction du séisme. L'onde P fait bouger le sol dans sa direction de propagation : en comparant ce premier mouvement sur les deux horizontales, on trouve l'azimut de la source, à 180° près ; le sens du mouvement vertical — vers le haut pour une compression — lève l'ambiguïté. C'est une estimation fragile, sensible au bruit et aux couches de surface : pour placer l'épicentre avec précision, il faut plusieurs stations (chapitre 2).

La magnitude locale ML

Richter (1935) a défini la magnitude à partir de l'amplitude maximale lue sur un sismomètre de référence, le Wood-Anderson (période propre 0,8 s), corrigée de la distance pour que toutes les stations donnent la même valeur. Aujourd'hui, on simule ce sismomètre à partir de l'enregistrement, et l'on applique la formule normalisée de l'IASPEI (2013) :

ML = log₁₀ A + 1,11 · log₁₀ R + 0,00189 · R − 2,09

A : amplitude maximale sur les composantes horizontales du Wood-Anderson simulé, ramené à un grandissement de 1, en nanomètres ; R : distance hypocentrale en km. Les deux derniers termes corrigent l'affaiblissement des ondes avec la distance.

L'échelle est logarithmique : à la même distance, une amplitude dix fois plus grande donne une magnitude plus grande d'une unité. En énergie libérée, un point de magnitude représente environ 32 fois plus.

ML a deux limites. Elle est définie pour des distances régionales, jusqu'à quelques centaines de kilomètres. Et elle sature au-delà de 6,5 environ : un séisme plus grand rompt une faille plus longue, émet surtout des ondes de longue période, que le Wood-Anderson, réglé sur 0,8 s, ne voit plus grandir. Pour les grands séismes, on emploie la magnitude de moment Mw, tirée de la taille physique de la rupture (chapitre 4). C'est elle qu'utilisent les lois d'atténuation et le calcul de l'aléa.

Magnitude, intensité, accélération

Trois notions qu'on ne doit pas confondre :

L'ingénieur, lui, dimensionne pour une troisième grandeur : le mouvement du sol au site — accélération maximale (PGA) et spectre de réponse. Il dépend de la magnitude, de la distance et du sol. Les lois d'atténuation (chapitre 10) en donnent la valeur médiane et la dispersion ; le calculateur ci-dessous trace la médiane des trois lois utilisées dans ce cours, au rocher.

2 · Localiser un séisme avec un réseau

Une station ne suffit pas

Au chapitre 1, une station donnait la distance du foyer, par l'écart S − P, et une direction fragile, par le premier mouvement de l'onde P. Pour placer le séisme sur la carte, on combine les lectures de plusieurs stations : c'est le travail quotidien des observatoires, qui publient pour chaque séisme un épicentre (latitude, longitude), une profondeur et une heure d'origine.

Les cercles de distance

Chaque station i donne sa distance hypocentrale R_i ≈ 8,4 × (S − P)_i. Si l'on connaît la profondeur h, l'épicentre est à la distance Δ_i = √(R_i² − h²) de la station : sur la carte, il se trouve sur le cercle de centre la station et de rayon Δ_i. Deux cercles se coupent en deux points ; le troisième lève l'ambiguïté. Trois stations suffisent donc à placer l'épicentre — c'est la trilatération, comme un récepteur GNSS se place à partir des satellites.

Sans connaître h, on trace les cercles de rayon R_i : ils sont trop grands et se recouvrent ; leurs cordes communes se coupent à l'aplomb du foyer. Plus la zone commune est large, plus le foyer est profond.

Le diagramme de Wadati

À une station, l'onde P arrive à t_P = t₀ + d / Vp et l'onde S à t_S = t₀ + d / Vs. En éliminant la distance d :

t_S − t_P = (Vp / Vs − 1) · (t_P − t₀)

Portées en fonction de t_P, les écarts S − P de toutes les stations s'alignent donc sur une droite, quelles que soient leurs distances. Sa pente vaut Vp/Vs − 1 et elle coupe l'axe S − P = 0 à l'heure d'origine t₀. Wadati (1933) obtenait ainsi l'heure d'origine et le rapport des vitesses sans rien savoir de la position du séisme ni de la croûte. Aujourd'hui, le diagramme sert surtout à contrôler les pointés : une station qui s'écarte de la droite a mal lu P ou S.

La localisation par moindres carrés

Les observatoires ne tracent plus de cercles. Chaque temps d'arrivée lu donne une équation t_obs = t₀ + T(x, y, h ; station), où T est le temps de trajet calculé dans un modèle de vitesses de la croûte (onde Pg directe ou Pn réfractée par le manteau, chapitre 6). On cherche les quatre inconnues x, y, h et t₀ qui rendent les résidus t_obs − t₀ − T les plus petits, au sens des moindres carrés. Geiger (1912) linéarisait le problème et itérait ; on peut aussi, comme le banc « réseau », essayer toute une grille de positions — pour chacune, la meilleure heure d'origine est simplement la moyenne des t_obs − T.

Quatre inconnues demandent au moins quatre lectures, dont trois ondes P. On pointe S avec un poids moindre : elle émerge dans la coda de P et se lit moins bien. Un résidu moyen (rms) de l'ordre du dixième de seconde signe une bonne localisation ; un résidu isolé de plus d'une seconde trahit un pointé faux.

La localisation ne vaut que ce que vaut le modèle de vitesses : un Vp trop fort de 5 % éloigne tous les foyers des stations. Ces erreurs systématiques ne se voient pas dans le résidu.

La lacune azimutale

Vue de l'épicentre, chaque station est dans une direction (son azimut). La lacune azimutale (« gap ») est le plus grand secteur sans station. Tant qu'elle reste sous 180°, les stations entourent le séisme et l'épicentre est bien contraint. Au-delà, le séisme est hors du réseau : toutes les stations le voient du même côté, et la zone d'incertitude s'allonge dans la direction qui l'éloigne du réseau. Les catalogues publient la lacune avec chaque séisme : c'est le premier critère de qualité d'une localisation.

La profondeur

La profondeur est l'inconnue la plus mal déterminée. Un foyer plus profond retarde toutes les arrivées d'à peu près la même quantité, qu'une heure d'origine plus précoce compense : h et t₀ se « troquent ». Seule une station proche, à une distance comparable à la profondeur, sépare les deux. Avec la station la plus proche, à la distance épicentrale Δ, on a h = √(R² − Δ²) : une petite erreur sur R pèse d'autant plus que Δ dépasse h.

3 · Le mécanisme au foyer

Une faille, trois angles

Un séisme est un glissement brutal sur une faille. Trois angles décrivent ce glissement, selon la convention d'Aki et Richards :

• l'azimut φ (« strike ») de la trace de la faille, compté depuis le nord dans le sens horaire, et choisi pour que la faille plonge à droite quand on regarde dans sa direction ;
• le pendage δ (« dip »), angle du plan avec l'horizontale, de 0 à 90° ;
• le glissement λ (« rake »), direction du mouvement du compartiment supérieur dans le plan, comptée depuis la direction de la faille : λ = −90° pour une faille normale (le toit descend, la croûte s'étire), λ = +90° pour une faille inverse (le toit monte, la croûte se raccourcit), λ = 0° ou 180° pour un décrochement sénestre ou dextre (mouvement horizontal).

On classe en faille normale les glissements de −150° à −30°, en faille inverse ceux de 30° à 150°, en décrochement les autres : ce sont les classes qu'emploient les lois d'atténuation.

Compressions et dilatations

Le glissement pousse la roche vers l'avant de chaque compartiment et la tire derrière. L'onde P part donc en compression dans deux quadrants opposés et en dilatation dans les deux autres. Une station placée dans un quadrant en compression voit le sol monter au premier mouvement de l'onde P (composante verticale vers le haut) ; dans un quadrant en dilatation, le sol descend. Les quadrants sont séparés par deux plans perpendiculaires, les plans nodaux, où l'onde P ne rayonne pas : l'un est le plan de faille, l'autre le plan auxiliaire, perpendiculaire au glissement.

C'est le modèle du double couple : un glissement sur le plan de faille rayonne exactement comme un glissement sur le plan auxiliaire. Les premiers mouvements ne disent donc pas lequel des deux plans a joué. Pour trancher, on regarde l'alignement des répliques, la trace de la rupture en surface, la géologie ou la déformation mesurée par satellite.

La sphère focale

On imagine une petite sphère autour du foyer. Le rai qui rejoint une station perce la sphère en un point défini par son azimut et par son angle d'émergence i, compté depuis la verticale descendante. On reporte chaque polarité lue sur ce point — disque noir pour une compression, blanc pour une dilatation — puis on projette l'hémisphère inférieur sur un plan, en projection de Schmidt (à aires égales : un point d'émergence i est à la distance √2·sin(i/2) du centre, le bord valant 1). Une station lointaine, atteinte par l'onde Pn réfractée par le manteau, reçoit un rai parti vers le bas, émergent à 49° de la verticale ; une station plus proche reçoit un rai montant (onde Pg), qu'on reporte par le point diamétralement opposé — d'autant plus près du bord que la station est loin.

Les quadrants en compression se teintent ; les plans nodaux deviennent deux arcs qui se coupent à angle droit sur la sphère. La figure est caractéristique du type de faille :

Pour un décrochement, les deux plans sont presque verticaux : la sphère montre quatre quartiers alternés, en croix.

Les axes P et T

À 45° des deux plans nodaux, au milieu du quadrant en dilatation, se trouve l'axe P (pression) ; au milieu du quadrant en compression, l'axe T (tension). Ils indiquent en première approche la direction du raccourcissement et de l'allongement de la croûte autour de la faille : une famille de mécanismes inverses aux axes P orientés nord–sud signe une compression nord–sud. Attention au piège des mots : l'axe P est au milieu des dilatations.

Du réseau au mécanisme

Pour déterminer le mécanisme, on lit la polarité de la première arrivée P sur la composante verticale de chaque station, on la place sur la sphère grâce à l'azimut de la station et à l'angle d'émergence (tiré de la localisation et du modèle de croûte), puis on cherche les plans qui séparent au mieux les compressions des dilatations. L'ordinateur essaie tous les mécanismes d'une grille et garde ceux qui ont le moins de désaccords. Avec peu de stations, toute une famille de mécanismes convient : la solution n'est contrainte que si les polarités couvrent bien la sphère, de part et d'autre de chaque plan. Une polarité mal lue (premier mouvement noyé dans le bruit) déplace la solution ou laisse un désaccord.

4 · La taille de la source : moment et Mw

Le moment sismique

La magnitude locale du chapitre 1 mesure une amplitude ; elle sature pour les grands séismes. La mesure physique de la taille d'un séisme est le moment sismique, produit de la rigidité de la roche, de la surface rompue et du glissement moyen :

M₀ = μ · A · D

μ ≈ 30 GPa dans la croûte ; A = L × W, longueur et largeur de la rupture ; D, glissement moyen. M₀ s'exprime en N·m.

Hanks et Kanamori (1979) en ont tiré la magnitude de moment, calée pour prolonger les anciennes échelles :

Mw = (log₁₀ M₀ − 9,05) / 1,5

La formule normalisée de l'IASPEI (2013) écrit 9,1 au lieu de 9,05 : l'écart est de 0,03 en magnitude. Ce cours et ses bancs gardent 9,05, comme les sources du calcul d'aléa (chapitre 10).

Une unité de Mw multiplie le moment par 10^1,5 ≈ 32 ; deux unités, par 1 000. Un séisme de magnitude 7 équivaut, en moment, à mille séismes de magnitude 5.

Les lois d'échelle

Les grands séismes rompent de grandes failles. Wells et Coppersmith (1994) ont relié, sur les séismes historiques, la surface rompue à la magnitude ; leur loi médiane, toutes failles confondues, s'écrit log₁₀ A = −3,49 + 0,91 Mw (A en km²). Elle sert à dimensionner les ruptures d'un modèle d'aléa : la plus grande magnitude d'une faille est celle dont la rupture la couvre entière.

Le spectre de la source

Vu de loin, le glissement d'une faille est une impulsion de déplacement. Son spectre de Fourier, corrigé du trajet, présente un plateau aux basses fréquences, proportionnel au moment, puis décroît comme 1/f² au-delà d'une fréquence coin f_c, d'autant plus basse que la rupture est grande. C'est le modèle de Brune (1970) :

Ω(f) = Ω₀ / (1 + (f / f_c)²), avec Ω₀ ∝ M₀

Brune relie la fréquence coin au rayon de la rupture et à la chute de contrainte Δσ, part de la contrainte de cisaillement relâchée par le séisme :

f_c = 0,49 · β · (Δσ / M₀)^1/3

β : vitesse des ondes S près de la source (3 500 m/s) ; Δσ en Pa ; M₀ en N·m. Δσ vaut de 1 à 10 MPa pour la plupart des séismes crustaux, sans dépendre de la magnitude : les séismes sont semblables à eux-mêmes, et f_c varie comme M₀^−1/3, divisée par √10 ≈ 3,2 à chaque unité de Mw.

Pourquoi ML sature

Le Wood-Anderson de la magnitude locale lit le mouvement autour de 1,25 Hz (période de 0,8 s). Tant que la fréquence coin dépasse 1,25 Hz, l'amplitude à cette fréquence suit le plateau, donc le moment : ML et Mw grandissent ensemble. Dès que f_c passe sous 1,25 Hz, le Wood-Anderson lit la pente en 1/f², où l'amplitude ne croît plus que comme M₀^1/3 : d'une magnitude à la suivante, elle n'est plus multipliée que par 3 environ au lieu de 32. C'est la saturation de ML, vers 6 à 6,5.

Mesurer le moment sur un enregistrement

Pour mesurer M₀, on prend le spectre de la fenêtre des ondes S sur les deux horizontales et on le corrige de tout ce que le trajet a ajouté ou retiré :

• l'expansion géométrique : l'énergie se répartit sur une surface qui grandit, en 1/R près de la source, plus lentement au-delà de quelques dizaines de kilomètres, quand les ondes sont guidées par la croûte ;
• l'atténuation anélastique exp(−πfR / (Qβ)) : la roche dissipe une petite fraction de l'énergie à chaque cycle, d'autant plus que la fréquence est haute ; Q croît avec la fréquence ;
• le filtre κ exp(−πκf) des couches de surface, qui coupe les hautes fréquences (κ ≈ 0,02 à 0,06 s) ;
• l'amplification du site, par les couches de vitesse décroissante sous la station.

On ajuste ensuite le modèle de Brune : le plateau Ω₀, ramené à la distance de référence R₀ = 1 km, donne M₀ = Ω₀ · 4πρβ³ · R₀ / (R_θφ · F), avec ρ la masse volumique, R_θφ ≈ 0,63 le rayonnement moyen des ondes S et F = 2 l'effet de la surface libre ; la fréquence coin donne Δσ. Les agences publient Mw à partir des formes d'onde complètes (inversion du tenseur des moments), mais le principe est le même : la magnitude de moment se lit dans les basses fréquences.

5 · Comment fonctionne un sismomètre

Une masse suspendue dans un bâti

Comment mesurer le mouvement du sol, quand l'appareil est posé sur ce sol et bouge avec lui ? Il faut un point qui reste, au moins un temps, immobile : une masse suspendue à un ressort dans un bâti fixé au sol, freinée par un amortisseur. Quand le sol bouge, le bâti le suit ; la masse, par inertie, tarde à le suivre. Le sismomètre enregistre le déplacement x de la masse par rapport au bâti. Si ug est le déplacement du sol, l'équilibre de la masse s'écrit :

ẍ + 2ξω₀ ẋ + ω₀² x = −üg

ω₀ = √(k/m) est la pulsation propre (f₀ = ω₀/2π la fréquence propre, T₀ = 1/f₀ la période propre) ; ξ = c/(2mω₀) le taux d'amortissement critique. Le mouvement du sol n'entre que par son accélération üg.

Les oscillations libres et l'amortissement

Écartée puis lâchée, la masse oscille à la période propre amortie T_d = T₀/√(1 − ξ²), et ses oscillations décroissent en e^−ξω₀t. Le rapport de deux maxima successifs donne l'amortissement : c'est le décrément logarithmique.

δ = ln(x_n / x_n+1) = 2πξ / √(1 − ξ²) ≈ 2πξ

La réponse en fréquence

Pour un mouvement du sol sinusoïdal de fréquence f, la masse répond à la même fréquence, avec une amplitude qui dépend du rapport r = f/f₀ :

X / Ug = r² / (1 − r² + 2iξr)

• f ≫ f₀ (r ≥ 3) : X ≈ −Ug. La masse reste immobile et le bâti bouge autour d'elle : on lit directement le déplacement du sol. C'est le régime des sismomètres classiques ;
• f ≪ f₀ (r ≤ 0,3) : X ≈ −üg/ω₀². La masse suit le sol, le ressort se tend en proportion de la force d'inertie : on lit l'accélération du sol. C'est le régime des accéléromètres, de fréquence propre élevée (25 Hz et plus) ;
• f ≈ f₀ : résonance. Peu amortie, la masse amplifie le mouvement, d'un facteur 1/(2ξ) à r = 1. Avec ξ ≈ 0,7, la réponse reste plate et sans pic.

Vélocimètres, accéléromètres et Wood-Anderson

Dans un vélocimètre électromagnétique, une bobine liée à la masse se déplace dans un aimant lié au bâti : la tension produite est proportionnelle à la vitesse relative. Au-dessus de f₀, cette vitesse relative est celle du sol : l'instrument mesure la vitesse du sol. Les sismomètres « large bande » modernes maintiennent la masse en place par une force électrique (contre-réaction) et mesurent cette force : leur réponse est plate en vitesse de 120 s à 50 Hz. Très sensibles, ils saturent dans le mouvement fort.

L'accéléromètre a une fréquence propre bien au-dessus des fréquences utiles : il mesure l'accélération, sans saturer jusqu'à 2 g ou plus. C'est l'instrument du génie parasismique.

Le Wood-Anderson de la magnitude locale est un sismomètre à torsion de période 0,8 s, amorti à 0,8 ; au-dessus de 4 Hz environ, il lit le déplacement du sol (à 2 Hz, il en rend encore 85 %). On le simule aujourd'hui sur les enregistrements numériques (chapitre 1).

6 · La structure de la Terre

Le globe en couches

Tout ce que l'on sait de l'intérieur de la Terre, ou presque, vient des ondes sismiques. Leurs temps de trajet, relevés sur des milliers de séismes, ont révélé des couches séparées par des discontinuités où la vitesse change brusquement :

La croûte (Mohorovičić, 1909) a 30 à 40 km d'épaisseur sous les continents, 7 km sous les océans. Le manteau, solide mais lentement convectif, est marqué à 410 et 660 km par des changements de minéraux (zone de transition). Le noyau (Oldham, 1906 ; Gutenberg en fixe la profondeur vers 2 900 km en 1913) est liquide dans sa partie externe : les ondes S n'y passent pas, et la vitesse des ondes P y chute de 13,7 à 8,0 km/s. La graine solide, au centre, a été découverte par Inge Lehmann en 1936, grâce à des ondes faibles arrivant dans la zone d'ombre.

Des rais courbes et les noms des phases

Dans une Terre sphérique dont la vitesse v(r) croît vers le bas, la loi de Snell se conserve le long du rai sous la forme p = r·sin i / v, constante : le paramètre de rai. Le rai plonge, se redresse et remonte là où r/v = p. À chaque discontinuité, il se réfracte ou se réfléchit, et l'onde peut changer de nature (P en S, S en P). Chaque trajet est une phase, désignée par les lettres de ses segments :

• P, S : onde P ou S dans le manteau (et la croûte) ;
• c : réflexion sur le noyau — PcP, ScS ;
• K : onde P dans le noyau externe — PKP, et SKS, onde S convertie en P à l'entrée du noyau puis reconvertie en S à la sortie ;
• I : onde P dans la graine — PKIKP ; i : réflexion sur la graine — PKiKP ;
• en minuscules, p et s : départ vers le haut d'un foyer profond, puis réflexion à la surface (pP, sP : les « phases de profondeur », dont le retard sur P mesure la profondeur du foyer).

La zone d'ombre

Les rais P qui rasent le noyau émergent vers 100° de l'épicentre. Plus raides, ils entrent dans le noyau, où la vitesse chute : ils s'y réfractent vers le centre et ressortent beaucoup plus loin, au-delà de 145° (PKP). Entre les deux s'étend la zone d'ombre de P, où n'arrivent que des ondes diffractées par le noyau et les ondes faibles qui ont traversé ou effleuré la graine (PKIKP, PKiKP). Pour les ondes S, l'ombre est totale au-delà de 100° : le noyau liquide ne les transmet pas, seule SKS y arrive, convertie.

Les tables de temps de trajet

Les temps de trajet de toutes ces phases, calculés dans un modèle de Terre moyen — Jeffreys et Bullen (1940), puis iasp91 et ak135 —, servent aux agences internationales pour localiser les séismes lointains et pour identifier les phases sur les enregistrements, comme l'écart S − P sert à la station locale. Le reste du chapitre revient à la croûte, où se joue la localisation des séismes proches.

Les hodochrones

Alignons des stations sur un profil, de quelques kilomètres à quelques centaines de kilomètres du séisme, et portons le temps d'arrivée de chaque onde en fonction de la distance : on obtient les hodochrones. Dans une croûte homogène, l'onde directe Pg arrive au bout du temps √(Δ² + h²)/V₁ : loin du foyer, une droite de pente 1/V₁. Au-delà d'une certaine distance, une autre onde la double : l'onde Pn, qui a plongé jusqu'au Moho, la base de la croûte, et voyagé le long du manteau, plus rapide. C'est en observant ce dédoublement après le séisme de la vallée de la Kupa, en Croatie, que Mohorovičić a découvert en 1909 la discontinuité qui porte son nom.

L'onde réfractée

Un rai qui frappe le Moho sous l'angle critique i_c, tel que sin i_c = V₁/V₂, longe l'interface à la vitesse V₂ du manteau et renvoie de l'énergie vers la surface sous le même angle. Son temps de trajet est une droite de pente 1/V₂ :

t_Pn = Δ / V₂ + t_i, avec t_i = (2H − h) · cos i_c / V₁

H : épaisseur de la croûte ; h : profondeur du foyer ; t_i : temps d'intercept, ordonnée à l'origine de la droite de Pn. Pn n'existe qu'au-delà de la distance critique (2H − h)·tan i_c.

Plus lente au départ, Pn rattrape Pg à la distance de croisement : au-delà, la première arrivée P est Pn. C'est pourquoi la règle d ≈ 8,4 × (S − P) du chapitre 1 surestime la distance au-delà de 150 km environ.

Lire la croûte sur un profil

Le problème inverse se résout à la règle : on trace deux droites à travers les premières arrivées, l'une avant le croisement, l'autre après. Leurs pentes donnent V₁ et V₂ ; l'ordonnée à l'origine de la seconde donne t_i, d'où l'épaisseur de la croûte :

H = (t_i · V₁ / cos i_c + h) / 2

Pour lire les pentes, on trace souvent les temps réduits t − Δ/V_r : une onde de vitesse V_r devient horizontale. La réduction ne sert qu'à l'œil ; les droites se calculent toujours sur les temps vrais.

La même méthode, à l'échelle du site

La sismique réfraction de la reconnaissance géotechnique applique exactement ces formules, en mètres et en millisecondes : un coup de masse sur une plaque, une ligne de géophones tous les quelques mètres, et les premières arrivées donnent la vitesse des terrains superficiels et la profondeur du substratum rocheux (foyer en surface, h = 0). Les vitesses des ondes P qu'elle mesure servent au classement des terrains (rippabilité) ; pour le séisme, on lui préfère les ondes S, qui fixent le Vs30 et la classe de sol de l'Eurocode 8 (chapitre 12).

7 · Le spectre de réponse et l'Eurocode 8

Une famille d'oscillateurs

Le chapitre 5 a montré qu'un ouvrage simple se comporte comme un oscillateur de période T et d'amortissement ξ. Soumettons à un même accélérogramme toute une famille d'oscillateurs, de périodes 0,02 s à 4 s, au même amortissement (5 % par convention), et relevons pour chacun le plus grand déplacement relatif : c'est le spectre de réponse en déplacement Sd(T). On en tire la pseudo-vitesse et la pseudo-accélération :

Sv = ω · Sd  ;  Sa = ω² · Sd, avec ω = 2π/T

Sa(T) multipliée par la masse est la force élastique maximale dans le ressort, donc l'effort tranchant à la base de l'ouvrage : c'est la grandeur du dimensionnement. Aux très courtes périodes, l'oscillateur rigide suit le sol et Sa tend vers l'accélération maximale du sol (PGA) ; aux très longues périodes, la masse reste immobile et Sd tend vers le déplacement maximal du sol.

Chaque oscillateur est intégré par Newmark à accélération moyenne, avec un pas au plus égal à T/20 : les courtes périodes demandent des sous-pas, l'accélérogramme étant interpolé linéairement entre ses échantillons.

L'effet de l'amortissement

Plus l'oscillateur est amorti, plus sa réponse est faible, surtout près des périodes fortes du mouvement. L'Eurocode 8 passe du spectre à 5 % à un autre amortissement par le coefficient :

η = √(10 / (5 + ξ)) ≥ 0,55   (ξ en %)

η = 1 pour 5 % ; 0,82 pour 10 % ; 1,20 pour 2 %. La borne 0,55 est atteinte vers 28 % : au-delà, l'Eurocode ne compte plus l'amortissement supplémentaire (chapitre 17).

Le spectre élastique de l'Eurocode 8

Le spectre d'un accélérogramme est dentelé et propre à cet enregistrement. Le règlement donne une forme lissée, qui représente le mouvement d'un site pour une probabilité de dépassement donnée (chapitre 10). Dans l'EN 1998-1:2004 (§ 3.2.2.2), le spectre élastique horizontal s'écrit, avec a_g l'accélération de calcul au rocher et S le paramètre de sol :

a_g = γ_I·a_gR : l'accélération de référence a_gR de la carte nationale, multipliée par le coefficient d'importance de l'ouvrage. Le facteur 2,5 est l'amplification moyenne du plateau. Les périodes de coin et S dépendent :

• de la classe de sol (tableau 3.1) : A, rocher (Vs30 > 800 m/s) ; B, sols très denses (360 à 800 m/s) ; C, sols denses ou moyennement denses (180 à 360 m/s) ; D, sols lâches (< 180 m/s) ; E, couche de 5 à 20 m de type C ou D sur un rocher. Vs30 est la vitesse moyenne des ondes S sur les 30 premiers mètres (chapitre 12) ;
• du type de spectre : type 1 pour les séismes qui contribuent le plus à l'aléa avec une magnitude de surface supérieure à 5,5, type 2 sinon — un séisme modéré et proche a un spectre plus étroit, centré sur les courtes périodes.

Valeurs recommandées des tableaux 3.2 et 3.3 ; chaque pays les fixe dans son annexe nationale. La deuxième génération de l'Eurocode 8 (EN 1998-1-1:2024) redéfinit l'action sismique ; elle sera présentée à côté de la première, d'après son texte.

La période de l'ouvrage

Pour entrer dans le spectre, il faut la période fondamentale T₁ de l'ouvrage. Pour un bâtiment de hauteur H ≤ 40 m, l'EN 1998-1 (§ 4.3.3.2.2) admet l'estimation :

T₁ = C_t · H^3/4

C_t = 0,085 pour les portiques en acier, 0,075 pour les portiques en béton armé, 0,050 pour les autres structures ; H en mètres. Un portique en béton armé de 15 m : T₁ = 0,075 × 15^0,75 ≈ 0,57 s, sur le plateau du sol C (S_e = 0,575 g pour a_g = 0,20 g). Le calcul modal du chapitre 15 donne une valeur plus juste.

8 · Catalogue et loi de Gutenberg-Richter

Le catalogue de sismicité

Un catalogue range les séismes d'une région : date et heure d'origine, épicentre, profondeur, magnitude. Il réunit des époques très inégales. Depuis quelques décennies, les réseaux denses enregistrent jusqu'aux petits séismes ; au début du XX^e siècle, seuls les forts séismes étaient détectés ; avant, on ne dispose que de témoignages, convertis en magnitude à partir de l'intensité. Toutes les magnitudes doivent être ramenées à Mw (chapitre 4) avant tout calcul.

La loi de Gutenberg-Richter

Sur une région et une période assez longues, le nombre annuel de séismes de magnitude supérieure ou égale à M décroît exponentiellement :

log₁₀ λ(≥ M) = a − b · M

λ : taux annuel ; a mesure l'activité de la région ; b, la proportion des grands séismes parmi les petits, vaut près de 1 dans la plupart des régions : une unité de magnitude de plus, dix fois moins de séismes. La loi est tronquée à une magnitude maximale Mmax, la plus grande que les failles de la région puissent produire.

La complétude

Un catalogue est complet au-dessus d'une magnitude Mc s'il contient tous les séismes de cette taille. Au-dessous, des séismes manquent : la distribution des magnitudes s'infléchit et ne suit plus la loi. Mc diminue avec le temps, au rythme de la densification des réseaux. Deux outils l'estiment :

• la courbure maximale : la classe de magnitude la plus peuplée, augmentée de 0,2 par prudence (Woessner et Wiemer, 2005) ;
• le graphique de Stepp (1972) : pour une classe de magnitude, le taux calculé sur les T dernières années, en fonction de T. Tant que le catalogue est complet, l'écart type du taux décroît comme 1/√T ; quand le taux se met à baisser, on remonte au-delà de la période complète.

La valeur b

On estime b au-dessus de Mc par le maximum de vraisemblance d'Aki (1965), avec la correction d'Utsu pour des magnitudes rangées par classes de largeur ΔM :

b = log₁₀ e / (M̄ − (Mc − ΔM/2))

M̄ : moyenne des magnitudes ≥ Mc ; log₁₀ e = 0,4343 ; ΔM = 0,1 en général. L'incertitude vaut environ b/√N (Shi et Bolt, 1982, en donnent l'expression exacte) : il faut plusieurs centaines de séismes pour connaître b à 0,05 près. Quand Mc change avec le temps, l'estimateur de Weichert (1980) combine des périodes de complétude différentes pour chaque classe.

Répliques et déclusterage

Un fort séisme est suivi de répliques, d'autant plus nombreuses qu'il est grand, dont le taux décroît comme 1/(t + c)^p (loi d'Omori-Utsu, p ≈ 1,1) ; la plus forte vaut en moyenne la magnitude du choc principal moins 1,2 (loi de Båth). Ces séismes ne sont pas indépendants : le calcul de l'aléa, qui suppose des séismes poissoniens, ne doit compter que les chocs principaux. On déclustérise le catalogue : la méthode de Gardner et Knopoff (1974) retire, autour de chaque séisme, ceux qui tombent dans une fenêtre d'espace L(M) et de temps T(M) croissant avec la magnitude — environ 40 km et 140 jours pour M 5, 70 km et 2,5 ans pour M 7.

Des taux aux probabilités

Si les chocs principaux se produisent au hasard, sans mémoire (processus de Poisson), la probabilité qu'au moins un séisme de taux annuel λ se produise en t années vaut :

P = 1 − e^−λt  ;  période de retour T_R = 1/λ = −t / ln(1 − P)

10 % en 50 ans correspondent à T_R = 475 ans, le niveau de référence de l'EN 1998-1:2004 pour l'exigence de non-effondrement ; 2 % en 50 ans, à 2 475 ans. Un événement de période de retour 50 ans a 63 % de chances de se produire en 50 ans, pas 100 %.

9 · Déformation de la croûte et taux de séismes

Mesurer la déformation

Un catalogue couvre au mieux quelques siècles ; les grands séismes d'une faille lente reviennent tous les mille ans ou plus. La géodésie donne une autre mesure de l'activité : des stations GNSS permanentes mesurent leur vitesse au millimètre par an près. Les différences de vitesse entre stations voisines révèlent la déformation de la croûte, accumulée entre les séismes puis relâchée par eux. Ce que la croûte accumule en déformation élastique, les séismes doivent le rendre.

Une faille bloquée

En profondeur, sous une profondeur D de quelques kilomètres à une quinzaine, une faille glisse continûment à la vitesse s ; au-dessus, elle est bloquée et ne bouge qu'aux séismes. Entre deux séismes, la surface se déforme : pour un décrochement, la vitesse parallèle à la faille, à la distance x, vaut (Savage et Burford, 1973) :

v(x) = (s / π) · arctan(x / D)

La moitié du glissement s'accumule dans une bande de ± D autour de la faille ; le taux de déformation y culmine à s/(πD). 1 mm/an par km vaut 10⁻⁶ par an, soit 1 000 nanodéformations par an (ns/an).

Le taux de moment que doit libérer une faille de longueur L et de largeur W qui glisse à la vitesse s s'écrit comme le moment d'un séisme (chapitre 4) : Ṁ₀ = μ·L·W·s.

Le taux de déformation d'une région

Sur une région couverte par un réseau, on ajuste aux vitesses des stations un champ de vitesse linéaire, par moindres carrés : son gradient est le tenseur des taux de déformation (ε̇_xx, ε̇_yy, ε̇_xy). Ses axes principaux donnent le raccourcissement maximal ε̇₁ (négatif) et l'allongement ε̇₂, comme les axes P et T des mécanismes au foyer (chapitre 3). Dans une région lente, quelques ns/an, le bruit des stations pèse lourd : le taux n'est connu qu'à un facteur 2 près, et toujours biaisé vers le haut, car le moment dépend de sa valeur absolue.

Kostrov (1974) relie la déformation moyenne d'un volume au moment des séismes qu'il contient. Sous la forme de Savage et Simpson (1997), pour une couche sismogène d'épaisseur H et de surface A :

Ṁ₀ = 2μ·H·A · max(|ε̇₁|, |ε̇₂|, |ε̇₁ + ε̇₂|)

Le couplage et l'équilibre en moment

Toute la déformation ne se libère pas en séismes : une part se fait par glissement lent, plis, déformation diffuse. Le couplage sismique χ, entre 0 et 1, est la part sismique. Le moment sismique χ·Ṁ₀ doit être libéré par la loi de Gutenberg-Richter de la région, tronquée à Mmax : connaissant b et Mmax, on en déduit la valeur a. C'est l'équilibre en moment.

10 · Le calcul probabiliste de l'aléa

La question de l'ingénieur

Quelle accélération un site a-t-il une chance sur dix de dépasser en cinquante ans ? Les chapitres précédents ont fourni les ingrédients : où se produisent les séismes, à quel rythme et jusqu'à quelle magnitude (chapitres 8 et 9), et quel mouvement chaque séisme produit au site. Le calcul probabiliste de l'aléa sismique (PSHA, Cornell 1968) les combine en tenant compte de tous les séismes possibles, petits et proches, grands et lointains.

Les lois d'atténuation

Une loi d'atténuation (ou « modèle de mouvement du sol ») donne, pour une magnitude M, une distance R, un sol (Vs30) et un type de faille, la médiane du logarithme d'une grandeur Y (PGA, Sa(T)) et son écart type σ :

ln Y = μ(M, R, Vs30, …) + ε·σ

ε suit une loi normale : Y est log-normale. σ vaut de 0,6 à 0,75 en ln, soit un facteur 2 environ : à magnitude et distance données, un séisme sur six dépasse la médiane multipliée par e^σ. On tronque souvent ε à ± 3. Ce cours emploie trois lois récentes, Akkar et al. (2014), Bindi et al. (2014) et Boore et al. (2014), en distance de Joyner-Boore Rjb ; leurs coefficients sont exportés d'OpenQuake.

L'intégrale de Cornell

Le taux annuel des séismes qui produisent au site une grandeur supérieure à y somme, sur toutes les sources, magnitudes et distances, le taux de chaque scénario multiplié par la probabilité qu'il dépasse y :

λ(Y > y) = Σ_sources Σ_M Σ_R λ(M) · P(R | M) · P(Y > y | M, R)

λ(M) : taux de la classe de magnitude (loi de Gutenberg-Richter tronquée de la source) ; P(R | M) : répartition des distances, les séismes étant uniformément répartis dans la zone source ; P(Y > y | M, R) : loi d'atténuation. La courbe λ(y) est la courbe d'aléa ; la probabilité de dépassement en t années en découle par Poisson, 1 − e^−λt.

On lit sur la courbe le niveau de probabilité choisie : 10 % en 50 ans (475 ans) pour le dimensionnement courant, 2 % en 50 ans (2 475 ans) pour les ouvrages sensibles. En répétant le calcul pour Sa(T) à plusieurs périodes, on obtient le spectre à probabilité uniforme (UHS), que l'on compare au spectre de l'Eurocode 8.

La désagrégation

Quels séismes font l'aléa ? La désagrégation répartit le taux de dépassement du niveau retenu entre les cases (M, R) qui y contribuent. Sa moyenne (M̄, R̄) définit le scénario de contrôle, qui guide le choix des accélérogrammes (chapitre 11) et le type de spectre de l'Eurocode 8 (M̄ ≤ 5,5 : type 2). Les petits séismes proches dominent souvent aux courtes périodes et aux faibles probabilités, les grands séismes lointains aux longues périodes.

L'arbre logique

Deux incertitudes se distinguent. La variabilité aléatoire — σ des lois, position et magnitude des séismes — est intégrée dans le calcul. L'incertitude épistémique — quelle loi d'atténuation, quelle valeur b, quelle Mmax, quel modèle de taux (catalogue ou géodésie) — se traite par un arbre logique : chaque branche porte un choix et un poids, chaque chemin de la racine aux feuilles est une réalisation du modèle, avec sa courbe d'aléa. On publie la courbe moyenne et des fractiles (16 %, 84 %) : leur écart mesure ce que l'on ignore. Le banc « aléa » énumère ainsi 108 réalisations.

11 · Choisir et caler des accélérogrammes

Quand faut-il des accélérogrammes ?

Le spectre suffit à l'analyse modale d'un ouvrage élastique. Dès que l'ouvrage se plastifie, glisse sur ses appareils d'appui, se soulève ou interagit fortement avec le sol, il faut un calcul temporel : l'ouvrage est soumis pas à pas à des accélérogrammes, et l'on relève sa réponse (chapitres 14 à 17). Le résultat dépend des accélérogrammes choisis : leur sélection est une étape du dimensionnement à part entière.

Trois familles existent : les enregistrements réels (bases européennes et mondiales), les accélérogrammes simulés à partir d'un modèle de source et de propagation (comme ceux des bancs de ce cours), et les accélérogrammes artificiels, fabriqués pour épouser un spectre. L'EN 1998-1:2004 admet les trois (§ 3.2.3.1).

Décrire un accélérogramme

Au-delà du pic (PGA) et du spectre, quelques indicateurs résument un enregistrement :

• l'intensité d'Arias I_a = π/(2g) · ∫ a² dt, en m/s : l'énergie par unité de masse transmise à une famille d'oscillateurs non amortis ; elle croît avec l'amplitude et la durée ;
• la courbe de Husid, I_a cumulée et normée, et la durée significative D_5–95, temps entre 5 % et 95 % de I_a (Trifunac et Brady, 1975) : elle s'allonge avec la magnitude et la distance ;
• la vitesse absolue cumulée CAV = ∫ |a| dt et la vitesse maximale PGV.

Une sinusoïde d'amplitude A qui dure D secondes a pour intensité d'Arias π·A²·D/(4g) : 0,2 g pendant 5 s donnent π × 1,962² × 5 / (4 × 9,81) ≈ 1,54 m/s. La durée compte pour les ouvrages qui se dégradent cycle après cycle, et pour la liquéfaction (chapitre 13).

La cible : spectre réglementaire, UHS ou spectre conditionnel

On cale les accélérogrammes sur un spectre cible. Le plus simple est le spectre élastique de l'Eurocode 8. Une étude d'aléa fournit l'UHS (chapitre 10) ; mais aucun séisme réel n'atteint à la fois, à toutes les périodes, le niveau de 475 ans : l'UHS enveloppe plusieurs scénarios et charge trop les calculs. Le spectre moyen conditionnel (CMS, Baker 2011) prend le niveau de l'UHS à une seule période T* (souvent T₁) et, aux autres périodes, la moyenne attendue sachant ce niveau, avec sa dispersion. Le banc « accélérogrammes » sait viser ces trois cibles.

Choisir puis mettre à l'échelle

On choisit des enregistrements proches du scénario de la désagrégation (magnitude, distance, sol, mécanisme), puis on multiplie chacun par un facteur d'échelle s : soit pour que son spectre colle au mieux à la cible sur une plage de périodes (moindres carrés en logarithme : ln s est la moyenne des écarts ln cible − ln Sa), soit pour qu'il égale la cible à T*. Les facteurs trop grands déforment le contenu du signal : on évite en pratique de sortir de 0,5 à 2, au plus de 0,25 à 4.

Les règles de l'Eurocode 8

Pour un jeu d'enregistrements, l'EN 1998-1:2004 (§ 3.2.3.1.3 (3), qui renvoie au § 3.2.3.1.2 (4)) demande :

• au moins 3 accélérogrammes ;
• une moyenne des accélérations maximales au moins égale à a_g·S ;
• entre 0,2·T₁ et 2·T₁, une moyenne des spectres élastiques à 5 % jamais inférieure à 90 % du spectre élastique.

La réponse à retenir (§ 4.3.3.4.3 (3)) est la moyenne des réponses si l'on a fait au moins 7 calculs, la plus défavorable sinon. Quand le jeu ne respecte pas les règles, on le multiplie par un facteur commun, le plus petit qui les satisfait.

12 · Les effets de site

Le sol amplifie

À quelques centaines de mètres d'écart, deux sites peuvent subir des mouvements très différents. À Mexico, en 1985, le séisme, à 350 km, a ravagé les quartiers bâtis sur les argiles lacustres et épargné ceux du rocher ; à San Francisco, en 1989, les dégâts se sont concentrés sur les remblais du quartier de la Marina. Les couches de sol meuble posées sur le rocher amplifient le mouvement, surtout à certaines fréquences.

Une couche sur un rocher

Une onde S qui monte du rocher dans une couche plus lente s'y trouve piégée : elle se réfléchit sur la surface libre, redescend, se réfléchit en partie sur le rocher. Les allers-retours se renforcent à la fréquence fondamentale de la couche, pour laquelle son épaisseur vaut un quart de longueur d'onde, puis aux harmoniques impaires :

f₀ = V_s / (4H)  ;  f_n = (2n + 1)·f₀

À la résonance, l'amplification par rapport au rocher affleurant est limitée par deux pertes : l'énergie qui repart dans le rocher, mesurée par le contraste d'impédance I = ρ_sV_s / (ρ_rV_r), et l'amortissement ξ du sol :

A(f₀) ≈ 1 / (I + πξ/2)

Vs30 et la classe de sol

Pour un profil de plusieurs couches, on approche f₀ par 1/(4·Σ h_i/V_i). L'Eurocode 8 classe le site par Vs30, vitesse moyenne des ondes S sur les 30 premiers mètres, au sens du temps de trajet :

Vs30 = 30 / Σ (h_i / V_i)   (EN 1998-1:2004, éq. 3.1)

Classes A (> 800 m/s), B (360 à 800), C (180 à 360), D (< 180), et E pour 5 à 20 m de sol de type C ou D sur un rocher : la couche de l'exemple, Vs30 = 273 m/s, est de classe E, pas C. Les classes S1 (argiles molles épaisses) et S2 (sols liquéfiables) demandent une étude particulière. On mesure V_s par forages (cross-hole, down-hole), par ondes de surface (MASW), et l'on estime f₀ par le rapport spectral H/V du bruit de fond.

Le sol n'est pas élastique

Sous forte sollicitation, le sol se déforme davantage, sa rigidité chute et il dissipe plus : le module sécant G/G₀ diminue et l'amortissement ξ augmente avec la distorsion γ. Les courbes de Darendeli (2001) donnent ces lois selon l'indice de plasticité et la contrainte effective ; la distorsion de référence, où G/G₀ = 0,5, vaut quelques 10⁻⁴. La méthode linéaire équivalente (programmes SHAKE, pystrata) itère : on calcule la distorsion effective de chaque couche (0,65 fois la distorsion maximale), on en tire G et ξ, et l'on recommence jusqu'à convergence. Plus le mouvement est fort, plus l'amplification baisse et plus la fréquence de résonance descend.

13 · La liquéfaction des sols

Le phénomène

Un sable lâche et saturé, cisaillé en cycles par les ondes S, tend à se tasser. L'eau des pores n'a pas le temps de s'échapper : sa pression interstitielle monte, la contrainte effective entre les grains chute, et le sol perd sa résistance au cisaillement — il se comporte un temps comme un liquide. C'est la liquéfaction. À Niigata, en 1964, des immeubles se sont couchés sur leurs fondations intactes ; à Kobe, en 1995, les quais du port ont glissé vers la mer. Ses conséquences : tassements, rupture de portance, déplacements latéraux des berges, remontée des ouvrages enterrés, volcans de sable.

Sont sensibles les sables et sables limoneux lâches, jeunes, saturés (sous la nappe), à moins de 15 à 20 m de profondeur. Les sols fins plastiques se comportent autrement (radoucissement cyclique) : la méthode ci-dessous les exclut (indice de comportement Ic > 2,6).

La méthode simplifiée

Seed et Idriss (1971) comparent deux rapports de contrainte, sous forme adimensionnelle. La sollicitation, rapport de contrainte cyclique, se tire de l'accélération maximale en surface a_max :

CSR = 0,65 · (σ_v / σ'_v) · (a_max / g) · r_d

σ_v et σ'_v : contraintes verticales totale et effective à la profondeur z ; r_d ≤ 1 traduit la souplesse de la colonne de sol ; 0,65 ramène le pic à une contrainte cyclique uniforme équivalente.

La résistance, rapport de résistance cyclique, se lit sur la résistance à la pénétration, normalisée et corrigée des fines : (N₁)_60cs au carottier (SPT) ou q_c1Ncs au pénétromètre statique (CPT). Boulanger et Idriss (2014) donnent CRR_7,5 pour un séisme de magnitude 7,5 sous 1 atmosphère, que l'on corrige par le facteur de magnitude MSF (un petit séisme fait moins de cycles) et par K_σ (effet du confinement) :

CRR = CRR_7,5 · MSF · K_σ  ;  FS = CRR / CSR

Le sol se liquéfie si FS < 1. L'EN 1998-5 demande une marge : avec la valeur recommandée λ = 0,8, le coefficient doit atteindre 1/0,8 = 1,25. On prend a_max = a_g·S et la magnitude du scénario dominant de l'aléa.

Un sondage entier : LPI et tassements

Un pénétromètre statique donne un point tous les 2 cm : on obtient un profil de FS. Iwasaki et al. (1982) le résument par l'indice de potentiel de liquéfaction LPI = Σ (1 − FS)·(10 − 0,5z)·Δz sur les 20 premiers mètres, pour FS < 1 : nul pour 0, faible jusqu'à 5, élevé jusqu'à 15, très élevé au-delà. Les couches liquéfiées se tassent en se reconsolidant : la déformation volumique de Zhang et al. (2002), fonction de FS et de q_c1Ncs, intégrée sur la profondeur, donne le tassement en surface.

14 · Ductilité et coefficient de comportement

Résister ou plier

Dimensionner un bâtiment pour qu'il reste élastique sous le spectre élastique — 0,575 g au plateau pour a_g = 0,2 g sur un sol C — demanderait des sections énormes. L'Eurocode 8 fait un autre choix : l'ouvrage est dimensionné pour une force plus faible, et l'on accepte qu'il se plastifie, pourvu qu'il puisse se déformer au-delà de sa limite élastique sans perdre sa résistance : c'est la ductilité. Le séisme impose surtout un déplacement ; un ouvrage ductile le suit en dissipant de l'énergie dans ses zones plastiques.

L'oscillateur élastoplastique

Reprenons l'oscillateur du chapitre 5, avec un ressort qui plafonne à la force f_y (puis éventuellement s'écrouit avec une pente α·k). Si l'oscillateur élastique de même période demande la force m·S_a, on lui donne la résistance f_y = m·S_a / R : R est le facteur de réduction. On mesure la ductilité par le rapport du déplacement maximal au déplacement élastique limite :

μ = u_max / u_y, avec u_y = f_y / k

Le calcul pas à pas (Newmark et Newton, vérifié contre OpenSeesPy) donne la boucle force–déplacement : son aire est l'énergie dissipée ; le déplacement qui reste à la fin est le déplacement résiduel.

Les règles R–μ–T

Combien de ductilité faut-il pour un facteur R donné ? Trois règles, issues des calculs sur de nombreux accélérogrammes :

• égaux déplacements (Newmark et Hall) : pour les périodes moyennes et longues, au-delà de T_C, l'oscillateur plastique se déplace autant que l'élastique : μ = R ;
• égales énergies : aux courtes périodes, l'énergie emmagasinée se conserve : μ = (R² + 1)/2 ;
• règle de la méthode N2 (Vidic, Fajfar et Fischinger) : μ = 1 + (R − 1)·T_C/T sous T_C, μ = R au-delà.

Les ouvrages raides sont donc les plus exigeants : pour une même réduction, ils doivent être bien plus ductiles.

Le coefficient de comportement

L'Eurocode 8 traduit cette réduction par le coefficient de comportement q : l'analyse élastique se fait sous le spectre de calcul S_d(T), obtenu en divisant le spectre élastique par q (EN 1998-1:2004, § 3.2.2.5, expressions 3.13 à 3.16) :

β = 0,2 (valeur recommandée) borne le spectre aux longues périodes. q inclut à la fois la ductilité et la surrésistance de la structure ; il dépend du système (portiques, voiles, mixte), de sa régularité et de la classe de ductilité : faible (DCL, q ≤ 1,5, sans dispositions particulières), moyenne (DCM) ou haute (DCH). Le déplacement réel se retrouve en multipliant le déplacement élastique calculé par q (d_s = q·d_e, chapitre 15).

Garantir la ductilité

Un coefficient q élevé n'a de sens que si la ductilité est réellement disponible. D'où le dimensionnement en capacité : on choisit les zones qui doivent se plastifier (rotules en extrémité de poutres, pied de voiles), on les rend ductiles par les détails (confinement, ancrages), et l'on dimensionne tout le reste — poteaux, nœuds, fondations, efforts tranchants — pour la résistance réelle de ces zones, majorée de leur surrésistance. Le mécanisme d'étage, où tous les poteaux d'un niveau se plastifient, est le mode de ruine à éviter (chapitre 16).

15 · Analyse modale d'un bâtiment

La console de cisaillement

Un bâtiment à étages se ramène, pour une première analyse, à une console de cisaillement : la masse est concentrée aux planchers (m_i), et chaque étage est un ressort horizontal de raideur k_i, somme des raideurs de ses poteaux et voiles (12EI/h³ pour un poteau encastré à ses deux extrémités). Le mouvement du sol excite tout le bâtiment ; son équation est celle de l'oscillateur, écrite avec des matrices :

M·ü + C·u̇ + K·u = −M·1·üg

Modes propres

Libre et non amorti, le bâtiment vibre selon des modes propres : des déformées φ_n qui gardent leur forme en oscillant à la pulsation ω_n, solutions de K·φ = ω²·M·φ. Le premier mode, le plus lent, déforme le bâtiment d'un seul côté ; le deuxième a un nœud à mi-hauteur, et ainsi de suite. Chaque mode répond au séisme comme un oscillateur de période T_n = 2π/ω_n, avec un poids donné par le facteur de participation Γ_n = φ_nᵀM·1 / φ_nᵀMφ_n et une masse effective m_eff,n = (φ_nᵀM·1)² / φ_nᵀMφ_n ; la somme des masses effectives de tous les modes est la masse totale.

L'analyse modale spectrale

Chaque mode est un oscillateur : sous le spectre de calcul S_d(T), sa réponse maximale vaut u_n = φ_n·Γ_n·S_d(T_n)/ω_n² et sa force à la base m_eff,n·S_d(T_n). Les maxima des modes ne se produisent pas au même instant : on les combine. Si les périodes sont bien séparées (T_j ≤ 0,9·T_i), la racine de la somme des carrés (SRSS) suffit ; sinon, la combinaison quadratique complète (CQC, Der Kiureghian 1981) tient compte de leur corrélation (EN 1998-1:2004, § 4.3.3.3.2). On retient les modes dont la masse effective cumulée atteint 90 %, et tous ceux de plus de 5 % (§ 4.3.3.3.1).

La méthode des forces latérales

Pour un bâtiment régulier en élévation dont T₁ ≤ min(4·T_C ; 2 s), l'Eurocode admet une méthode simplifiée (§ 4.3.3.2), qui ne garde que le premier mode : un effort tranchant à la base

F_b = S_d(T₁) · m · λ

m : masse totale ; λ = 0,85 si T₁ ≤ 2·T_C et plus de deux étages (la masse effective du premier mode est moindre que la masse totale), 1 sinon. F_b se répartit sur les planchers proportionnellement à z_i·m_i (ou à la déformée du premier mode). T₁ peut venir de C_t·H^3/4 ou de 2·√d, d étant le déplacement en tête sous les poids appliqués horizontalement.

Déplacements et effets du second ordre

Le calcul élastique sous le spectre de calcul sous-estime les déplacements réels, puisque la structure se plastifie : on les multiplie par q (§ 4.3.4), d_r = q·d_e pour le déplacement relatif d'étage. Deux vérifications en découlent :

• la limitation des dommages (§ 4.4.3.2) : d_r·ν ≤ 0,005·h pour des cloisons fragiles (0,0075·h si elles sont ductiles, 0,010·h si elles ne gênent pas la structure), avec ν = 0,5 recommandé ;
• le coefficient de sensibilité θ = P_tot·d_r / (V_tot·h) (§ 4.4.2.2) : au-dessous de 0,10, on néglige le second ordre ; jusqu'à 0,20, on majore les effets sismiques par 1/(1 − θ) ; au-delà de 0,30, la structure est trop souple.

16 · Poussée progressive et méthode N2

Au-delà du calcul élastique

L'analyse modale du chapitre 15 suppose un comportement élastique, corrigé globalement par q. Elle ne dit pas où la structure se plastifie, ni si la ductilité supposée est disponible. L'analyse en poussée progressive (« pushover », EN 1998-1:2004, § 4.3.3.4.2) répond à ces questions par un calcul statique non linéaire : on pousse la structure sous des forces latérales croissantes, de forme fixée, jusqu'à la ruine, et l'on suit la plastification de ses éléments.

La courbe de capacité

Le résultat est la courbe de capacité : l'effort tranchant à la base en fonction du déplacement en tête. L'Eurocode demande deux répartitions des forces (§ 4.3.3.4.2.2 (1)) : une répartition modale, F_i ∝ m_i·Φ_i (Φ déformée du premier mode, normée au sommet), et une répartition uniforme, F_i ∝ m_i. La première charge le haut du bâtiment, la seconde la base.

Pour une console de cisaillement dont chaque étage est élastique parfaitement plastique (raideur k_i, résistance V_y,i), la courbe est bilinéaire : sous le multiplicateur λ des forces, l'effort tranchant de l'étage i vaut λ·S_i, et le premier étage qui atteint sa résistance — celui où V_y,i/S_i est minimal — forme un mécanisme d'étage : au-delà, lui seul se déforme.

Le système équivalent (annexe B)

La méthode N2 (Fajfar) ramène la structure à un oscillateur à un degré de liberté :

m* = Σ m_iΦ_i  ;  Γ = m* / Σ m_iΦ_i²  ;  F* = F_b/Γ, d* = d_n/Γ

On idéalise la courbe du système équivalent par une droite élastique et un palier (à aires égales sous la courbe jusqu'au mécanisme) : résistance F*_y, déplacement d*_y, puis la période

T* = 2π · √(m*·d*_y / F*_y)

Le déplacement cible

Le système équivalent est un oscillateur élastoplastique : son déplacement sous le spectre élastique S_e suit les règles du chapitre 14. Avec d*_et = S_e(T*)·(T*/2π)² :

• si T* ≥ T_C, égaux déplacements : d*_t = d*_et ;
• si T* < T_C et F*_y/m* ≥ S_e(T*), la réponse reste élastique : d*_t = d*_et ;
• sinon, avec q_u = S_e(T*)·m*/F*_y : d*_t = (d*_et/q_u)·(1 + (q_u − 1)·T_C/T*) ≥ d*_et.

Le déplacement cible du bâtiment est d_t = Γ·d*_t. On lit alors, sur le calcul en poussée, l'état de la structure à ce déplacement : glissements d'étage, rotations des rotules, efforts dans les éléments fragiles — à comparer à leurs capacités.

Format accélération–déplacement

On visualise la méthode en traçant, dans le plan (déplacement spectral, accélération spectrale), le spectre de demande S_e en fonction de S_e·(T/2π)² — chaque période est une droite issue de l'origine — et la courbe de capacité du système équivalent, (d*, F*/m*). Le déplacement cible se lit à la rencontre de la droite de période T* et du spectre, quand T* ≥ T_C.

17 · L'isolation à la base

Découpler l'ouvrage du sol

Plutôt que de résister au séisme ou de le subir en se plastifiant, on peut l'éviter en partie : poser l'ouvrage sur des isolateurs, très souples horizontalement mais raides verticalement. La période du bâtiment isolé passe à 2 ou 3 s, là où le spectre est faible ; les accélérations transmises à la superstructure chutent, et presque toute la déformation se concentre dans les isolateurs. Deux familles dominent : les appuis en élastomère fretté, souvent à noyau de plomb qui dissipe en se plastifiant, et les pendules à friction, dont le rayon de courbure fixe la période.

L'isolateur bilinéaire

Les deux familles se représentent par une loi bilinéaire : raideur initiale K₁, raideur post-élastique K₂, et une force caractéristique Q, ordonnée à l'origine de la branche post-élastique (la résistance du plomb, ou le frottement μ·W du pendule). La période post-élastique de la masse portée M vaut T_iso = 2π√(M/K₂) ; la plastification se produit au déplacement d_y, d'où K₁ = K₂ + Q/d_y. Une boucle d'amplitude d dissipe l'énergie :

E_D = 4·Q·(d − d_y)

La linéarisation équivalente

Pour le dimensionnement, on remplace l'isolateur par un ressort linéaire et un amortisseur équivalents, à l'amplitude d :

K_eff = F(d)/d  ;  T_eff = 2π√(M/K_eff)  ;  ξ_eff = ξ_v + E_D / (2π·K_eff·d²)

Le déplacement de calcul est celui du spectre élastique à T_eff, corrigé de l'amortissement par η = √(10/(5 + ξ_eff)) ≥ 0,55 (chapitre 7) : d = η·S_e(T_eff)·(T_eff/2π)². Comme T_eff et ξ_eff dépendent de d, on itère jusqu'à ce que d se stabilise (point fixe). Le chapitre 10 de l'EN 1998-1 encadre la conception des ouvrages isolés ; ce cours s'en tient à la méthode.

Vérifier par le calcul temporel

La linéarisation équivalente est une approximation. On la vérifie par des calculs temporels non linéaires du bâtiment isolé : une dalle de base sur l'isolateur bilinéaire, la superstructure au-dessus, sous des accélérogrammes calés autour de T_eff. On compare le déplacement de l'isolateur au déplacement de calcul, et l'accélération de la superstructure à celle du même bâtiment sur base fixe, soumis au même mouvement.